RU  |  EN

ISSN  1684-792X

Выпуски по годам:


Разделы и рубрики:

Выпуск 47

МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА

УДК: 517.9

СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ И ПРОСТРАНСТВА L(E,p(x),mu)

ШАРАПУДИНОВ Идрис Идрисович


В настоящей статье мы рассмотрим вопросы, связанные с приближенным вычислением интегралов. Рассматривается задача об оценке погрешности квадратурных формул для функций из классов , состоящих из функций , заданных на , имеющих абсолютно непрерывную производную порядка и производную порядка , обладающую тем свойством, что . Впервые такие классы были введены в работах автора в связи с задачей об оценке погрешностей квадратурных формул. Мы рассмотрим также некоторые новые классы функций, обладающих существенно переменным поведением гладкости на заданном отрезке , и получим точные оценки погрешностей, так называемых усложненных квадратурных формул для этих новых классов. При решении этой задачи естественным образом появляются пространства с переменным показателем и двойственные им пространсства , где . А именно, в терминах этих пространств выражаются точные значения погрешностей квадратурных формул, учитывающих существенно переменное поведение гладкости функций , подлежащих приближенному интегрированию по отрезку . Это позволяет получить для функций , обладающих переменной гладкостью на , более точные оценки погрешностей усложненных квадратурных формул, использующие следующие величины где – линейная оболочка пространства

Ключевые слова: пространства Лебега с переменным показателем; пространства Соболева с переменным показатем; квадратурные формулы; приближение функций; variable exponent Lebesgue spaces; variable exponent Sobolev spaces; quadrature formulas; function approximation.

Страницы: 5 - 21

Поступила в редакцию: 15.03.2012 г.

Список литературы:

  • Orlicz W. Uber konjugierte Exponentenfolgen // Studia Math. 1931. Vol. 3. P. 200–212.
  • Nakano H. Modulared Semi-ordered Linear Spaces. Tokyo: Maruzen Co., Ltd., 1950.
  • Nakano H. Topology and Topological Linear Spaces. Tokyo: Maruzen Co., Ltd., 1951.
  • Musielak J. Orlicz Spaces and Modular Spaces. Berlin: Springer-Verlag, 1983.
  • Musielak J. and Orlicz W. On modular spaces // Studia Math. 1959. Vol. 18. P. 49–65.
  • Tsenov I. V. Generalization of the problem of best approximation of a function in the space // (Russian) Uch. Zap. Dagestan Gos. Univ. 1961. Vol. 7. P. 25–37.
  • Колмогоров А. Н. Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen Raumes // Studia Math. 1934. Vol. 5. P. 29–33.
  • Шарапудинов И.И. О топологии пространства // Матем. заметки. 1979. Т. 26. Вып. 4. С. 613–632.
  • Шарапудинов И.И. О базисности системы Хаара в пространстве и принципе локализации в среднем // Матем. сборник. 1986. Т. 130 (172). № 2 (6). С. 275–283.
  • Шарапудинов И.И. О равномерной ограниченности в некоторых семейств операторов свертки // Матем. заметки. 1996. Т. 59. Вып. 2. С. 291–302.
  • Diening L. Maximal function on generalized Lebesgue spaces Lp(·) // Math. Inequal. Appl. 2004. Vol. 7. P. 245–253.
  • Diening L. and Ruħička M. Calderon-Zygmund operators on generalized Lebesgue spaces and problems related to fluid dynamics // J. Reine Angew. Math. 2003. N 563. P. 197–220.
  • Diening L., Hästö P. and Nekvinda A. Open problems in variable exponent Lebesgue and Sobolev spaces // Function Spaces, Differential Operators and Nonlinear Analysis, Proceedings of the Conference held in Milovy, Bohemian-Moravian Uplands, May 28 – June 2, 2004. Math. Inst. Acad. Sci. Czech Republick, Praha.
  • Lebesgue and Sobolev spaces with variable exponent. Lecture Notes in Mathematics 2017 / L. Diening, Р. Harjulehto, Р. Hasto, М. Ruħička // Springer-Verlag Berlin and Heidelberg, 2011.
  • Zhikov V.V. Averaging of functionals of the calculus of variations and elasticity theory // Math. USSR Izv. 1987. Vol. 29 N 1. P. 33–66. [Translation of Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 1986. Vol. 50. N 4. P. 675–710, 877.]
  • Zhikov V.V. Meyer-type estimates for solving the nonlinear Stokes system // Differ. Equ. 1997. Vol. 33. N 1. P. 108–115. [Translation of Differ. Uravn. 1997 Vol. 33. N 1. P. 107–114, 143].
  • Zhikov V.V. On some variational problems // Russian J. Math. Phys. 1997. Vol. 5. N 1. P. 105–116 (1998).
  • Kokilashvili V., Samko N. and Samko S. Singular operators in variable spaces with oscillating weights // Math. Nachr. 2007. Vol. 280. P. 1145–1156.
  • Kokilashvili V. and Samko S. Singular integral equations in the Lebesgue spaces with variable exponent // Proc. A. Razmadze Math. Inst. 2003. Vol. 131. P. 61–78.
  • Kokilashvili V. and Samko S. Singular integrals in weighted Lebesgue spaces with variable exponent // Georgian Math. J. 2003. Vol. 10. P. 145–156.
  • Kokilashvili V. and Samko S. Weighted boundedness in Lebesgue spaces with variable exponents of classical operators on Carleson curves // Proc. A. Razmadze Math. Inst. 2005. Vol. 138. P. 106–110.
  • Kokilashvili V. and Samko S. Singular Integrals in Weigted Lebesgue Spaces with Variable Exponent // Georgian Math. J. 2003. Vol. 10. N 1. P. 145–156.
  • Samko S. Convolution type operators in Lp(x) // Integr. Transform. Spec. Funct. 1998. Vol. 7. N 1, 2. P. 123–144.
  • Samko S. Hardy inequality in the generalized Lebesgue spaces // Fract. Calc. Appl. Anal. 2003. N 6. P. 355–362.
  • Шарапудинов И.И. Некоторые вопросы теории приближения в пространствах // Analysis Mathematica. 2007. T. 33. № 2. С. 135–153.
  • Шарапудинов И.И. О базисности системы полиномов Лежандра в пространстве с переменным показателем // Матем. сб. 2009. Т. 200. № 1. С. 137–160.
  • Шарапудинов И.И. Приближение функций в метрике пространства и квадратурные формулы // Constructive function theory'81. Procedings of the International Conference on Constructive Function Theory. Varna, June 1–5, 1981. С. 189–193.
  • Guven A. and Israfilov D. M. Trigonometric approximation in Generalized Lebesgue spaces // Journal of Math. Inequalities. 2010. Vol. 4. N 2. P. 285–299.
  • Akgun R. Polynomial approximation of functions in weighted Lebesgue and Smirnov spaces with nonstandard growth // Georgian Math. J. 2011. N 18. P. 203–235. DOI 10.1515/GMJ.2011.0022
  • Akgun R. Trigonometric approximation of functions in generalized Lebesgue spaces with variable exponent // Ukr. Math. Journal. 2011. Vol. 63. N 1. (Ukrainian Original. 2011. Vol. 63. N 1).
  • Akgun R. and Kokilashvili V. On converse theorems of trigonometric approximation in weghted variable exponent Lebesgue spaces // Banach J. Math. Anal. 2011. Vol. 5 N 1. P. 70–82.
  • Guven A. Trigonometric approximation by matrix transforms in Lp(x) // Anal. and Appl. 2012. Vol. 10. N 1. Р. 47–65.
  • Akgun R. and Kokilashvili V. The refined direct and converse inequalities of trigonometric approximation in weighted variable exponent Lebesgue spaces // Georgian Math. J. 2011. Vol. 18. N 3. P. 399–423.
  • Шарапудинов И.И. Некоторые вопросы теории приближения функций тригонометрическими полиномами в // Математический форум. Т. 5. Исследования по математическому анализу и дифференциальным уравнениям. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А. 2011. С. 108–116.
  • Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1988.

Скачать полный текст


Вернуться к оглавлению выпуска